Шпаргалка 19: «Математика» ПРОПОРЦИИ И ПРАВИЛО КРЕСТА
(6–7 классы: универсальный ключ к 80% задач по математике, химии и физике)
Пропорция — это просто равенство двух отношений (двух дробей или делений):
a / b = c / d или a : b = c : d
Читается: «a относится к b так же, как c относится к d».
Пример из жизни: рецепт блинов. Если на 2 стакана муки нужно 4 яйца, то на 1 стакан муки нужно 2 яйца.
2/4 = 1/2 — это и есть пропорция.
1. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО: МАГИЧЕСКОЕ «ПРАВИЛО КРЕСТА»
В пропорции:
• крайние члены — a и d (стоят по краям)
• средние члены — b и c (стоят в серединке)
ГЛАВНЫЙ ЗАКОН:
«Произведение крайних членов равно произведению средних».
a ╲ ╱ c
── ╳ ── ➔ a × d = b × c
b ╱ ╲ d
Перемножай числа по диагоналям («крест-накрест») — их результаты равны.
Пример:
3/5 = 6/10 ➔ 3 × 10 = 5 × 6 ➔ 30 = 30
2. КАК НАЙТИ НЕИЗВЕСТНЫЙ «X» ЗА ОДНО ДЕЙСТВИЕ
В задачах и уравнениях один член пропорции обычно неизвестен:
x / 4 = 15 / 20
⚡ ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО:
«Перемножь два числа, стоящих по известной диагонали, и раздели на число, стоящее напротив X».
x 15
─── = ────
4 20
1) Пара по диагонали без X: 4 и 15.
4 × 15 = 60
2) Напротив X стоит 20.
3) x = (4 × 15) / 20 = 60 / 20 = 3
3. ДВА ТИПА ЗАДАЧ: ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Перед тем как составлять пропорцию, спросите ребёнка:
«Если одна величина вырастет, вторая тоже вырастет или уменьшится?»
А. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
«Чем больше — тем больше»
• Больше купил конфет ➔ больше заплатил.
• Дольше едешь ➔ больше проехал.
Пример:
3 кг яблок стоят 180 руб. Сколько стоят 5 кг?
3 кг → 180 руб.
5 кг → x руб.
3 / 5 = 180 / x
x = (5 × 180) / 3 = 300 руб.
Б. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
«Чем больше — тем меньше»
• Больше рабочих ➔ меньше дней.
• Выше скорость ➔ меньше времени.
Пример:
4 маляра красят забор за 6 часов. За сколько часов справятся 8 маляров?
4 маляра → 6 часов
8 маляров → x часов
Маляров стало больше ➔ времени нужно меньше.
4 / 8 = x / 6
x = (4 × 6) / 8 = 3 часа
4. ПРОЦЕНТЫ ЧЕРЕЗ ПРОПОРЦИЮ
Всё число целиком — это 100%.
Пример:
В классе 30 учеников, 20% из них отличники. Сколько отличников?
30 чел. → 100%
x чел. → 20%
x = (30 × 20) / 100 = 6 отличников
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ В 3 ШАГА
1. Запиши условие в два столбика:
килограммы под килограммами, рубли под рублями.
2. Определи зависимость:
Прямая → оба показателя растут или уменьшаются вместе.
Обратная → один растёт, второй уменьшается.
3. Примени правило креста:
перемножь известную диагональ и раздели на число, стоящее напротив X.
🧠 ГЛАВНОЕ: СНАЧАЛА ОПРЕДЕЛИ ЗАВИСИМОСТЬ — ПОТОМ СОСТАВЛЯЙ ПРОПОРЦИЮ!
(6–7 классы: универсальный ключ к 80% задач по математике, химии и физике)
Пропорция — это просто равенство двух отношений (двух дробей или делений):
a / b = c / d или a : b = c : d
Читается: «a относится к b так же, как c относится к d».
Пример из жизни: рецепт блинов. Если на 2 стакана муки нужно 4 яйца, то на 1 стакан муки нужно 2 яйца.
2/4 = 1/2 — это и есть пропорция.
1. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО: МАГИЧЕСКОЕ «ПРАВИЛО КРЕСТА»
В пропорции:
• крайние члены — a и d (стоят по краям)
• средние члены — b и c (стоят в серединке)
ГЛАВНЫЙ ЗАКОН:
«Произведение крайних членов равно произведению средних».
a ╲ ╱ c
── ╳ ── ➔ a × d = b × c
b ╱ ╲ d
Перемножай числа по диагоналям («крест-накрест») — их результаты равны.
Пример:
3/5 = 6/10 ➔ 3 × 10 = 5 × 6 ➔ 30 = 30
2. КАК НАЙТИ НЕИЗВЕСТНЫЙ «X» ЗА ОДНО ДЕЙСТВИЕ
В задачах и уравнениях один член пропорции обычно неизвестен:
x / 4 = 15 / 20
⚡ ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО:
«Перемножь два числа, стоящих по известной диагонали, и раздели на число, стоящее напротив X».
x 15
─── = ────
4 20
1) Пара по диагонали без X: 4 и 15.
4 × 15 = 60
2) Напротив X стоит 20.
3) x = (4 × 15) / 20 = 60 / 20 = 3
3. ДВА ТИПА ЗАДАЧ: ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Перед тем как составлять пропорцию, спросите ребёнка:
«Если одна величина вырастет, вторая тоже вырастет или уменьшится?»
А. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
«Чем больше — тем больше»
• Больше купил конфет ➔ больше заплатил.
• Дольше едешь ➔ больше проехал.
Пример:
3 кг яблок стоят 180 руб. Сколько стоят 5 кг?
3 кг → 180 руб.
5 кг → x руб.
3 / 5 = 180 / x
x = (5 × 180) / 3 = 300 руб.
Б. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
«Чем больше — тем меньше»
• Больше рабочих ➔ меньше дней.
• Выше скорость ➔ меньше времени.
Пример:
4 маляра красят забор за 6 часов. За сколько часов справятся 8 маляров?
4 маляра → 6 часов
8 маляров → x часов
Маляров стало больше ➔ времени нужно меньше.
4 / 8 = x / 6
x = (4 × 6) / 8 = 3 часа
4. ПРОЦЕНТЫ ЧЕРЕЗ ПРОПОРЦИЮ
Всё число целиком — это 100%.
Пример:
В классе 30 учеников, 20% из них отличники. Сколько отличников?
30 чел. → 100%
x чел. → 20%
x = (30 × 20) / 100 = 6 отличников
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ В 3 ШАГА
1. Запиши условие в два столбика:
килограммы под килограммами, рубли под рублями.
2. Определи зависимость:
Прямая → оба показателя растут или уменьшаются вместе.
Обратная → один растёт, второй уменьшается.
3. Примени правило креста:
перемножь известную диагональ и раздели на число, стоящее напротив X.
🧠 ГЛАВНОЕ: СНАЧАЛА ОПРЕДЕЛИ ЗАВИСИМОСТЬ — ПОТОМ СОСТАВЛЯЙ ПРОПОРЦИЮ!