Математические этюды

Прошёл год https://t.me/EtudesRu/814 с открытия нового сайта журнала «Квант» https://www.kvant.digital/ .

Теперь выложены все вышедшие номера, начиная с первого номера 1970 года https://www.kvant.digital/issues/.

Роспись статей насчитывает более 9,5 тысяч записей https://www.kvant.digital/articles/?order=chronoasc ; продолжается процесс сверки и исправления единичных ошибок. Указатель персоналий https://www.kvant.digital/indices/personalia/ содержит около 4 тысяч авторов; идёт процесс создания кратких биографических справок. Во всех списках предусмотрена возможность упорядочивать различными способами, например так https://www.kvant.digital/indices/personalia/?order=cntdesc .

Отдельное внимание было уделено Задачнику «Кванта» — предлагавшиеся задачи решали во многих уголках нашей страны https://www.kvant.digital/problems/solvers/geo/ (если вы или ваши родители присылали решения в журнал можно попробовать найти фамилию в списке приславших решения https://www.kvant.digital/problems/solvers/ или поиском по всем изображениям https://www.kvant.digital/issues/. В задачах по математике больше половины условий уже представлены в текстовом виде https://www.kvant.digital/problems/math/ , некоторые и с текстовыми решениями. Спасибо студентам и преподавателям-организаторам математического факультета ВШЭ!

За прошедший год качество результатов, выдаваемых ИИ, существенно возросло. Надеемся, что скоро все накопленные бесценные материалы будут представлены в удобном текстовом виде, а журнал будет и дальше продолжать радовать интересными статьями!

Иллюстрированный каталог памятников, посвящённых учителям https://max.ru/etudesru/AaEKb6heS84 . (Собрано ИИ.)

Спасибо вам, Учителя!

Последний Математический вторник сентября: лемниската Бернулли — кривая из семейства овалов Кассини — может быть получена как сечение тора https://etudes.ru/models/Bernoulli-lemniscate/ .

Уходящий сентябрь ознаменовался несколькими знаковыми юбилеями.

15 сентября исполнилось 100 лет Жану-Пьеру Серру — одному из величайших математиков XX века, «самому молодому и самому старому» лауреату Филдсовской медали. Несколько ссылок:
• выступление Серра на конференции его 100-летия ,
• свежее интервью,
• рассказ о нём и его топологических результатах.

17 сентября исполнилось 200 лет со дня рождения Бернхарда Римана. В собрании сочинений Римана, изданных в 1948 году, есть статьи «О механизме уха», «К теории цветных колец Нобили», «Новая теория остаточного заряда в аппаратах, служащих для накопления электричества», … И, конечно же, его лекция при вступлении в звание приват-доцента Гёттингенского университета «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», заложившая основы римановой геометрии.

19 сентября исполнилось 60 лет заведующему Отдела алгебраической геометрии Математического института им. В. А. Стеклова РАН Дмитрию Олеговичу Орлову, чему была посвящена конференция «Современная алгебраическая геометрия» .

20 сентября исполнилось 20 лет проекту «Математическое образование: общедоступная электронная библиотека», более известному по своему адресу www.mathedu.ru/ . За 20 лет титанической работы Василия Бусева в проекте оцифрованы и выложены интересные книги, журналы, ...

Сферический глобус — хорошее приближение формы нашей Земли. Какой кратчайший путь на глобусе между двумя городами? А как он выглядит на карте? Какие самые длинные «прямые» морской и сухопутный пути на Земле?

Ответы на эти вопросы представлены в обновлённом сюжете «Земные пути».

Приятно, что рядом есть удивительная молодёжь, с чьей простой, но великой идеи, можно начать новый (учебный) год «Математических вторников».

Лента Мёбиуса является односторонней неориентируемой поверхностью с краем, а также популярным и узнаваемым математическим объектом. Существует ли такое вложение ленты Мёбиуса в трёхмерное пространство, при котором её граница была бы плоской кривой? А окружностью?

В XX веке единственным примером вложения, в котором край есть честная окружность, служила так называемая «Sudanese Möbius strip». При этом сама эта поверхность довольна сложна для восприятия и понимания.

Представляем простой и наглядный пример вложения ленты Мёбиуса, придуманный Василием Рождественским, при котором вся граница лежит в одной плоскости и, следовательно, незаузлена https://etudes.ru/etudes/Mobius-circular-boundary/ . Применив воображение, несложно непрерывно продеформировать (без самопересечений) эту модель так, чтобы граница стала честной окружностью.

Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола.

Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко» https://etudes.ru/etudes/Foucault-pendulum/ .

Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере.

Из геометрического правила выводится формула: на широте φ маятник Фуко за сутки повернётся на угол 2π sin φ радиан. На полюсе (φ = 90°) касательный конус вырождается в круг; маятник Фуко делает за сутки полный оборот. В Санкт-Петербурге (φ ≈ 60°), где в Исаакиевском соборе висел самый длинный в мире маятник Фуко, его поворот за сутки составлял почти 312°. В Москве (φ ≈ 55,75°) маятник Фуко поворачивается за сутки примерно на 297,5°. Примерно так же, как и в Москве, маятник Фуко будет поворачиваться в Казани, Кемерово, Новосибирске, Омске, Томске. В Париже (φ ≈ 48,86°), где в 1851 году маятник Фуко был продемонстрирован впервые, за сутки с хорошей точностью маятник проходит ¾ круга. На близкой широте расположены Волгоград, Хабаровск; Вена, Братислава, Мюнхен. Ровно половину круга маятник Фуко заметает, будучи расположенным на широте φ = 30° (sin 30° = ½): на этой широте находится Каир, близко к ней — Шанхай и Дели. Ну а на экваторе, где касательный конус вырождается в цилиндр, плоскость колебаний маятника Фуко относительно пола не поворачивается вообще.

Этим красивым фильмом «Математические вторники» учебного года 2025/2026 завершаются.

Про неевклидову геометрию Математические этюды уже сделали несколько красивых сюжетов
https://etudes.ru/etudes/@non-euclidean-geometry
https://etudes.ru/models/@non-euclidean-geometry

Про геометрию Лобачевского написано много текстов. Тем удивительнее, что главный редактор журнала «Квант» Александр Александрович Гайфуллин, в связи с 200-летием первого доклада Николай Ивановича, написал новую, очень интересную и содержательную статью, вышедшую в журнале во 2 и 3 номерах за этот год
https://www.kvant.digital/issues/2026/2/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-c7aeef50/
https://www.kvant.digital/issues/2026/3/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-022b1500/

Поздравляем Павла Александровича Кожевникова с юбилеем!
(Которые, как известно, случаются каждые 50 лет.)

ПалСаныч понимает и умеет раскрывать математическую суть рассматриваемой задачи на любом уровне – неподготовленным школьникам и школьникам-участникам международной математической олимпиады, учителям математики и профессиональным математикам. Посмотрите записи его докладов и его статьи!

Счастья и почаще улыбаться!

Команда из Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством заместителя директора по научной работе члена-корреспондента РАН Сергея Олеговича Горчинского с сентября 2026 года открывает новую группу бакалавриата воспитания будущих математиков в стиле эпохи Возрождения
https://www.hse.ru/ba/ami/mplusplus

Несмотря на то, что «территориально» поток М++ открывается на базе Факультета компьютерных наук ВШЭ, он рассчитан на студентов, желающих трудиться и заниматься настоящей математикой – серьёзной, абстрактной, теоретической, …, а не её приложениями.

Первый набор на первый курс – этим летом. Как всё сложится – конечно, никто не знает. Но квалификация коллег, участвующих в задумке, и как математиков, и как преподавателей, не подлежит сомнениям. Записи их лекций можно найти на многих сайтах, в частности, среди записей школы «Современная математика» в Дубне https://old.mccme.ru//dubna/courses/ . А желание коллег сделать действительно хорошее университетское разностороннее математическое образование, их взаимодействие друг с другом при обсуждении будущих курсов, поддержка команды руководством факультета, а также многолетняя человеческая забота Сергея Олеговича о подрастающем поколении дают уверенность, что студенты заведомо не будут брошены и всё получится наилучшим образом!

Развёртки позволяют не только лучше понять стереометрическую фигуру, но и, например, посчитать площадь боковой поверхности. А если развёртки ещё и оживить https://etudes.ru/models/solid-figures-threaded-net/ …

Представленные конструкции – лишь примеры. Использовать лучше плотную бумагу, которая держит форму. Читатель может попробовать анимировать и другие развёртки куба, развёртки других многогранников или фигур.

Вне зависимости от количества вершин сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике на плоскости одна и та же и равна 360 градусов.

Нарисуем на плоскости многоугольник и раскрасим его внешние углы. Отдалим плоскость от наблюдателя: многоугольник будет видеться точкой, а точки всей остальной плоскости будут окрашены каким-то одним из цветов. Внешние углы составят полный угол — 360 градусов.

Это и другие иллюстрации-доказательства — как классические, так и менее известные —представлены красивыми анимациями в сюжете «Сумма внешних углов выпуклого многоугольника».

Штатный краснодеревщик нашей Лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН Александр Лещинский придумал простую в изготовлении, но удивительно наглядную модель, демонстрирующую форму Земли: силиконовый шарик, надетый на верёвочную петлю https://etudes.ru/models/Earth-figure/ .

Идея модели основана на игрушке из детства — пуговице на закрученной верёвочке, и уже встречалась у нас в сюжете «Гиперболоид: пуговица на верёвочке». Растягивая руками петли верёвочки, вы заставляете пуговицу вращаться. Если приноровиться и вовремя «давать слабину», позволяя верёвочке закрутиться в другую сторону, в эту игрушку можно играть непрерывно.

В небольшом силиконовом шарике следует сделать два отверстия, параллельных друг другу и отстоящих от диаметра на одно и то же расстояние; продеть через них верёвочку и завязать её в петлю. Модель готова. В процессе демонстрации, в момент, когда петля скручена максимально, шарик, меняя направление, останавливается и приобретает форму шара. Когда вы растягиваете верёвочную петлю, скорость вращения увеличивается, и шарик принимает форму эллипсоида вращения, сжатого вдоль оси вращения.

Обновился сюжет «Календарь-головоломка» https://etudes.ru/models/puzzle-calendar/ , рассказывающий о нашем варианте вечного календаря, который очень понравился многим счастливым обладателям.

В приведённом календаре можно собрать 2604 комбинаций число-месяц-день. Из них реально встречаются 366*7 =2562 и чем меньше вариантов сложить заданную дату, тем головоломка сложнее. У 42 комбинаций есть только единственный способ их сложить, по два варианта — у 16 дат. Не более 10 способов укладки допускают 781 комбинация. Самых простых дат — с наибольшим числом вариантов сложить: 50 вариантов — одна дата, 55 вариантов — четыре даты, 68 вариантов — четыре даты.

Теперь, прежде чем складывать, вы можете оценить сложность сложить выбранную комбинацию, например сегодняшний день, посмотрев на сайте количество вариантов сложить конкретную дату!

Поиграться в большой настенный календарь можно на третьем этаже МЦНМО, а небольшой картонный вариант календаря можно найти в их магазине.

Возьмите прямоугольный лист бумаги, например А4, и, прежде чем переходить по ссылке, попробуйте сделать из него тетраэдр. Не обязательно правильный, но так чтобы прямоугольник был именно его развёрткой: в получившемся тетраэдре не должно быть наложений слоёв бумаги.

Самый простой способ можно посмотреть в новом фильме «Тетраэдр из… прямоугольника» https://etudes.ru/etudes/tetrahedron-rectangle-net/ .

А какие ещё многогранники кроме тетраэдра можно сложить из прямоугольного листа бумаги? Подумать над этим вопросом помогут фильмы «Вершины многогранника» , «Развёртка», «И это развёртка?!», а также брошюра Н. П. Долбилина «Жемчужины теории многогранников». Ответ будет в одном из следующих фильмов.

В преддверии 8 марта традиционно пополнился раздел «Математические украшения».

Задача квадрирования квадрата — разрезания квадрата на неравные квадраты — проста по постановке, но нетривиальна математически. Решение этой задачи может стать как основой головоломок, так и идеей для создания украшений https://etudes.ru/models/squaring-the-square-pendant/ .

Кулон, показывающий квадрирование квадрата, привлекает внимание — возникает желание посчитать количество квадратиков, обсудить саму задачу и оптимальность решения. А исполнение перекликается со способом решения задачи — теорией электрических цепей.

200 лет назад, 23 февраля 1826 года (11 февраля по старому стилю), профессор Императорского Казанского университета Николай Иванович Лобачевский на заседании комиссии Отделения физико-математических наук сделал первый доклад про неевклидову геометрию.
___________________________________________________________

Препровождаю сочинение моё под названием: Exposition succincte des principes de la Géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles […] Профессор Н. Лобачевский. 6 февраля 1826. [C фр.—«Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».]

Помета рукою секретаря Отделения адъюнкта П. М. Васильева: Слушано 1826 года 11 февраля. Определено: поручить рассмотреть сочинение гг. профессорам Симонову, Купферу и адъюнкту Брашману и мнение своё сообщить Отделению.

[Само сочинение вышло в свет позднее как часть сочинения «О началах геометрии», где к заглавию приведена сноска о докладе.]
___________________________________________________________

Проверить, правильно ли вы формулируете отрицание к пятому постулату Евклида и знаете ли базовые факты неевклидовой геометрии, можно в новой неевклидовой викторине «Геометрия Лобачевского: 200 лет первого доклада».
___________________________________________________________

Пятый постулат Евклида (в более поздней формулировке Прокла): через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. На фоне остальных постулатов Евклида, такое утверждение выглядит неестественно сложным, поэтому долгое время стоял вопрос: не является ли этот постулат теоремой, нельзя ли логически вывести его из остальных? Для понимания, как так бывает, что пятый постулат не выполняется, стоит начать с чего-то более привычного, чем геометрия Лобачевского. Например, посмотреть интерактивный сюжет «Сферическая геометрия». Из него вы также узнаете, что сферическая геометрия отличается от евклидовой не только пятым постулатом, т. е. её недостаточно, чтобы доказать или опровергнуть независимость пятого постулата от остальных четырёх.

Николай Иванович Лобачевский, умерший в 1856 году, не увидел ни одной графической реализации своей геометрии. Нам с вами проще: в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами придумал несколько моделей плоскости Лобачевского, и теперь мы можем увидеть её геометрию. Познакомиться с геометрией Лобачевского можно на интерактивном сюжете «Геометрия Лобачевского: модель Пуанкаре в круге».

Дело в том, что реализовать всю плоскость Лобачевского на какой-либо поверхности нашего пространства нельзя, поэтому визуализировать всю неевклидову геометрию можно только моделями. Классических моделей несколько, и их объединяет один физический объект, представленный в сюжете «Три модели плоскости Лобачевского». Кстати, такое наглядное пособие можно сделать своими руками, а фонарик, светящий во все стороны, сейчас всегда по рукой — в телефоне.

А вот часть плоскости Лобачевского реализовывается на псевдосфере Бельтрами. Постоянство гауссовой кривизны во всех точках этой поверхности имеет интересную механическую интерпретацию, с которой можно ознакомиться в сюжете «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны».

Итак, существуют евклидова геометрия, сферическая геометрия и геометрия Лобачевского. Четыре плаката «Три геометрии: сходства и различия» явно представляют базовые сходства и различия этих геометрий. Плакаты можно скачать, распечатать на бумаге формата «А» (оптимальный размер — листы А3 или крупнее) и повесить, например, в школе.

Со времён первого доклада о неевклидовой геометрии прошло 200 лет. Идеи выкристаллизовались, что позволило представить их в проекте «Математические этюды». О работах Николая Ивановича Лобачевского, мыслях Карла Фридриха Гаусса, работах Яноша Бойаи написаны сотни книг… А вспомнить, что это были за времена в России, можно по новой книге «Лобачевский и его время: интеллектуальное путешествие» из серии «Россия решает!» Адыгейского университета.